Gaussian heat kernel bounds through elliptic Moser iteration

On a doubling metric measure space endowed with a “carré du champ”, we consider LpLp estimates (Gp)(Gp) of the gradient of the heat semigroup and scale-invariant LpLp Poincaré inequalities (Pp)(Pp). We show that the combination of (Gp)(Gp) and (Pp)(Pp) for p≥2p≥2 always implies two-sided Gaussian heat kernel bounds. The case p=2p=2 is a famous theorem of Saloff-Coste, of which we give a shorter proof, without parabolic Moser iteration. We also give a more direct proof of the main result in [37]. This relies in particular on a new notion of LpLp Hölder regularity for a semigroup and on a characterisation of (P2)(P2) in terms of harmonic functions.

RésuméDans un espace métrique mesuré doublant muni d'un « carré du champ », on appelle (Gp)(Gp) les estimations LpLp du gradient du semi-groupe de la chaleur et (Pp)(Pp) les inégalités de Poincaré LpLp. On montre que la combinaison de (Gp)(Gp) avec (Pp)(Pp) pour p≥2p≥2 implique toujours les estimations supérieures et inférieures gaussiennes du noyau de la chaleur. Le cas p=2p=2, correspondant à un résultat de Saloff-Coste, est redémontré ici avec une démonstration plus simple évitant le recours à une itération de Moser parabolique. On donne aussi une démonstration plus directe du résultat principal de [37], en utilisant en particulier une nouvelle notion de régularité Hölder LpLp pour le semi-groupe et une caractérisation de (P2)(P2) en termes de fonctions harmoniques.