Weakly regular fluid flows with bounded variation on the domain of outer communication of a Schwarzschild black hole spacetime

We study the global dynamics of isothermal fluids evolving in the domain of outer communication of a Schwarzschild black hole. We first formulate the initial value problem within a class of weak solutions with bounded variation (BV), possibly containing shock waves. We then introduce a version of the random choice method and establish a global-in-time existence theory for the initial value problem within the proposed class of weakly regular fluid flows. The initial data may have arbitrary large bounded variation and can possibly blow up near the horizon of the black hole. Furthermore, we study the class of possibly discontinuous, equilibrium solutions and design a version of the random choice method in which these fluid equilibria are exactly preserved. This leads us to a nonlinear stability property for fluid equilibria under small perturbations with bounded variation. Furthermore, we can also encompass several limiting regimes (stiff matter, non-relativistic flows, extremal black hole) by letting the physical parameters (mass of the black hole, light speed, sound speed) reach extremal values.

RésuméOn étudie la dynamique globale d'un fluide isotherme, évoluant dans le domaine de communication exterieur d'un espace-temps de Schwarzschild. On formule le problème de Cauchy dans la classe des solutions à variation bornée contenant des ondes de choc. On propose ensuite une version de la méthode de Glimm et on démontre un théorème d'existence globale en temps pour les écoulements de fluides faiblement réguliers. La donnée initiale peut avoir une grande variation totale et n'est pas nécessairement bornée près de l'horizon du trou noir de Schwarzschild. De plus, on étudie la classe des solutions stationnaires (éventuellement discontinues) de ce problème et on propose une version de la méthode de Glimm qui préserve ces équilibres. Ceci nous conduit à la stabilité nonlinéaire de ces solutions stationnaires sous des perturbations dont la variation totale reste petite. Enfin, on considère plusieurs cas limites (matière « rigide », limite non-relativiste, trou noir extrême), qui sont obtenus en faisant tendre les paramètres physiques (masse du trou noir, vitesse de la lumière, vitesse du son) vers leurs valeurs extrêmes.