Flag bundles on Fano manifolds

As an application of a recent characterization of complete flag manifolds as Fano manifolds having only P1P1-bundles as elementary contractions, we consider here the case of a Fano manifold X of Picard number one supporting an unsplit family of rational curves whose subfamilies parameterizing curves through a fixed point are rational homogeneous, and we prove that X is homogeneous. In order to do this, we first study minimal sections on flag bundles over the projective line, and discuss how Grothendieck's theorem on principal bundles allows us to describe a flag bundle upon some special sections.

RésuméUn résultat récent identifie les variétés de drapeaux complets comme les variétés de Fano n'ayant que des fibrations en P1P1 comme contractions élémentaires. On va se servir de cette caractérisation pour étudier une variété de Fano X de nombre de Picard un admettant une famille non scindée de courbes rationnelles dont les sous-familles qui paramétrisent les courbes par un point choisi sont rationnellement homogènes. On montre qu'un tel X est homogène. Dans ce but, on étudie d'abord les sections minimales de fibrés en drapeaux sur la droite projective et on discute comment le théorème de Grothendieck sur des fibrés principaux permet de décrire un fibré en drapeaux à partir de certaines sections spéciales.