Equivalent formulations for the branched transport and urban planning problems

We consider two variational models for transport networks, an urban planning and a branched transport model, in both of which there is a preference for networks that collect and transport lots of mass together rather than transporting all mass particles independently. The strength of this preference determines the ramification patterns and the degree of complexity of optimal networks. Traditionally, the models are formulated in very different ways, via cost functionals of the network in case of urban planning or via cost functionals of irrigation patterns or of mass fluxes in case of branched transport. We show here that actually both models can be described by all three types of formulations; in particular, the urban planning can be cast into a Eulerian (flux-based) or a Lagrangian (pattern-based) framework.

RésuméOn étudie deux modèles variationnels de transport par des réseaux, le modèle de planification urbaine et le modèle de transport branché. Les deux modèles favorisent des réseaux qui regroupent et transportent beaucoup de masse simultanément au lieu de transporter les particules individuellement. La ramification et la complexité des réseaux optimaux sont déterminés par le degré de cette préférence. Traditionnellement, les formulations des deux modèles diffèrent beaucoup. Une formulation utilise une fonction-coût sur le réseau (dans le cas de la planification urbaine), l'autre une fonction-coût sur les systèmes d'irrigation ou les flux matériels (dans le cas du transport branché). On démontre que les deux modèles permettent en fait les trois formulations ; en particulier le problème de la planification urbaine peut être formulé dans un contexte eulérien (par les flux) ou lagrangien (par les systèmes d'irrigation).