An extremal eigenvalue problem arising in heat conduction

This article is devoted to the study of two extremal problems arising naturally in heat conduction processes. We look for optimal configurations of thermal axisymmetric fins and model this problem as the issue of (i) minimizing (for the worst shape) or (ii) maximizing (for the best shape) the first eigenvalue of a selfadjoint operator having a compact inverse. We impose a pointwise lower bound on the radius of the fin, as well as a lateral surface constraint. Using particular perturbations and under a smallness assumption on the pointwise lower bound, one shows that the only solution is the cylinder in the first case whereas there is no solution in the second case. We moreover construct a maximizing sequence and provide the optimal value of the eigenvalue in this case. As a byproduct of this result, and to propose a remedy to the non-existence in the second case, we also investigate the well-posedness character of another optimal design problem set in a class enjoying good compactness properties.

RésuméCet article est dédié à l'étude des problèmes extrémaux survenant de façon naturelle dans les procécédés de conduction de la chaleur. On recherche des configurations optimales d'ailettes thermiques axisymétriques et on modélise ce problème comme celui (i) de minimiser (pour la pire forme), ou (ii) de maximiser (pour la meilleure forme) la première valeur propre d'un opérateur autoadjoint d'inverse compact. On impose une borne inférieure ponctuelle sur le rayon de l'ailette, ainsi qu'une contrainte sur la surface latérale. En utilisant des perturbations particulières et sous une condition de petitesse de la contrainte de borne inférieure, on montre que l'unique solution est donnée par le cylindre dans le premier cas, tandis qu'il n'y a pas de solution dans le deuxième cas. On construit de plus une suite maximisante et on détermine la valeur propre optimale dans ce cas. Afin de proposer un remède dans le second cas, on étudie également le caractère bien posé d'un autre problème d'optimisation de forme dans une classe possédant de bonnes propriétés de compacité.