Nonlinear Korn inequalities in RnRn and immersions in W2,p, p > n, considered as functions of their metric tensors in W1,p

A nonlinear Korn inequality in RnRn provides an upper bound of an appropriate distance between two smooth enough immersions defined over an open subset Ω of RnRn in terms of the corresponding distance between their metric tensors.Under the assumption that Ω only satisfies the uniform interior cone property, we first establish such a nonlinear Korn inequality for immersions in the space W2,p(Ω)W2,p(Ω), p>np>n, hence with metric tensors in the space W1,p(Ω)W1,p(Ω); our point of departure is a crucial comparison theorem between solutions in W1,p(Ω)W1,p(Ω) of Pfaff systems, which is due to the second author.Under the assumptions that Ω is simply-connected and has a Lipschitz-continuous boundary, we then show that such immersions in W2,p(Ω)W2,p(Ω) can be considered as well-defined functions, up to an isometric equivalence relation R(Ω)R(Ω), of their metric tensors in W1,p(Ω)W1,p(Ω) if the Riemann curvature tensors of these tensors vanish in D′(Ω)D′(Ω). We also show that the mapping defined in this fashion from the space W1,p(Ω)W1,p(Ω) into the quotient set W2,p(Ω)/R(Ω)W2,p(Ω)/R(Ω) is locally Lipschitz-continuous.Under the only assumption that Ω is simply-connected, we finally show that one can define an analogous mapping, this time acting from the space Wloc1,p(Ω), p>np>n, into the quotient set Wloc2,p(Ω)/R(Ω), and that this mapping is continuous when these spaces are equipped with their natural Fréchet topologies.

RésuméUne inégalité de Korn non linéaire dans RnRn fournit une majoration d'une distance appropriée entre deux immersions suffisament régulières définies sur un ouvert Ω de RnRn en fonction de la distance correspondante entre leurs tenseurs métriques.Sous l'hypothèse que l'ouvert Ω satisfait seulement la propriété du cône intérieur uniforme, on établit pour commencer une telle inégalité de Korn non linéaire pour des immersions dans l'espace W2,p(Ω)W2,p(Ω), p>np>n, donc avec des tenseurs métriques dans l'espace W2,p(Ω)W2,p(Ω) ; notre point de départ est un théorème crucial de comparaison entre solutions dans l'espace W1,p(Ω)W1,p(Ω) de systèmes de Pfaff, qui est dû au second auteur.Sous l'hypothèse que l'ouvert Ω est simplement connexe et de frontière lipschitzienne, on montre ensuite que de telles immersions dans W2,p(Ω)W2,p(Ω) peuvent être considérées comme des fonctions bien définies, à une relation R(Ω)R(Ω) d'équivalence isométrique près, de leurs tenseurs métriques dans W1,p(Ω)W1,p(Ω) si les tenseurs de courbure de Riemann de ces derniers s'annulent dans D′(Ω)D′(Ω). On montre aussi que l'application aussi définie de l'espace W1,p(Ω)W1,p(Ω) dans l'ensemble quotient W2,p(Ω)/R(Ω)W2,p(Ω)/R(Ω) est localement lipschitzienne.Sous la seule hypothèse que l'ouvert Ω est simplement connexe, on montre enfin que l'on peut définir une application analogue, agissant cette fois de l'espace Wloc1,p(Ω), p>np>n, dans l'ensemble quotient Wloc2,p(Ω)/R(Ω), et que cette application est continue lorsque ces espaces sont munis de leur topologies naturelles de Fréchet.