Limiting absorption principle and well-posedness for the Helmholtz equation with sign changing coefficients

In this paper, we investigate the limiting absorption principle associated to and the well-posedness of the Helmholtz equations with sign changing coefficients which are used to model negative index materials. Using the reflecting technique introduced in [26], we first derive Cauchy problems from these equations. The limiting absorption principle and the well-posedness are then obtained via various a priori estimates for these Cauchy problems. Three approaches are proposed to obtain the a priori estimates. The first one follows from a priori estimates of elliptic systems equipped with complementing boundary conditions due to Agmon, Douglis, and Nirenberg in their classic work [1]. The second approach, which complements the first one, is variational and based on the Dirichlet principle. The last approach, which complements the second one, is also variational and uses the multiplier technique. Using these approaches, we are able to obtain new results on the well-posedness of these equations for which the conditions on the coefficients are imposed “partially” or “not strictly” on the interfaces of sign changing coefficients. This allows us to rediscover and extend known results obtained by the integral method, the pseudo differential operator theory, and the T-coercivity approach. The unique solution, obtained by the limiting absorption principle, is not in Hloc1(Rd) as usual and possibly not even in Lloc2(Rd). The optimality of our results is also discussed.

RésuméDans cet article, on étudie le principe d'absorption limite et le caractère bien posé des équations de Helmholtz avec changements de signe des coefficients, ce qui modélise des matériaux d'indice négatif. En utilisant la technique de réflexion introduite dans [26], on dérive d'abord des problèmes de Cauchy. Le principe d'absorption limite et le caractère bien posé sont ensuite obtenus grâce à des estimations a priori pour ces problèmes. Trois approches sont proposées pour obtenir ces estimations. La première utilise les estimations a priori des systèmes elliptiques pour des conditions aux limites complémentaires dans l'ouvrage classique [1] d'Agmon, Douglis et Nirenberg. La deuxième approche, qui complète la première, est variationnelle et utilise le principe de Dirichlet. La dernière approche, qui complète la seconde, est également variationnelle et utilise la technique du multiplicateur. Utilisant ces approches, on peut obtenir des nouveaux résultats sur le caractère bien posé de ces équations, pour lesquelles les conditions sur les coefficients sont imposées “partiellement” ou “pas strictement” sur les interfaces où les coefficients changent la signe. Cela permet de redécouvrir et d'étendre les résultats connus obtenus par la méthode intégrale, la théorie des opérateurs pseudo differentiels, et l'approche T-coercivité. La solution unique, obtenue par le principe d'absorption limite, n'est pas dans Hloc1(Rd) comme d'habitude et n'est peut-être même pas dans Lloc2(Rd). L'optimalité de nos résultats est également discutée.