Nearly cloaking the elastic wave fields

In this work, we develop a general mathematical framework on regularized approximate cloaking of elastic waves governed by the Lamé system via the approach of transformation elastodynamics. Our study is rather comprehensive. We first provide a rigorous justification of the transformation elastodynamics. Based on the blow-up-a-point construction, elastic material tensors for a perfect cloak are derived and shown to possess singularities. In order to avoid the singular structure, we propose to regularize the blow-up-a-point construction to be the blow-up-a-small-region construction. However, it is shown that without incorporating a suitable lossy layer, the regularized construction would fail due to resonant inclusions. In order to defeat the failure of the lossless construction, a properly designed lossy layer is introduced into the regularized cloaking construction. We derive sharp asymptotic estimates in assessing the cloaking performance. The proposed cloaking scheme is capable of nearly cloaking an arbitrary content with a high accuracy.

RésuméDans cet article, on propose un cadre mathématique général pour la dissimulation d'une cible élastique dans le cadre des équations de Lamé via une approche de transformations élastodynamiques. Notre étude est exhaustive. Dans un premier temps on donne une justification rigoureuse des transformations élastodynamiques. En utilisant la construction d'un point singulier, on calcule les tenseurs élastiques nécessaires à l'invisibilité et on montre qu'ils possèent des singularités. Pour palier ce problème, on propose une méthode de régularisation. Cependant, on montre que sans l'incorporation d'une couche absorbante convenable, la structure régularisée présente des petites inclusions résonnantes qui la fragilise. Afin de contourner ce problème, on introduit une couche absorbante convenable lors de la construction. On quantifie les performances par des majorations asymptotiques optimales. La méthode proposée peut masquer quasi-complètement une cible arbitraire avec une bonne précision.