Nonlinear Korn inequalities

Let Ω be a bounded and connected open subset of RnRn with a Lipschitz-continuous boundary Γ, the set Ω being locally on the same side of Γ, and let Θ:Ω‾→Rn and Φ:Ω‾→Rn be two smooth enough “deformations” of the set Ω‾. Then the classical Korn inequality asserts that, when Θ=idΘ=id, there exists a constant c such that‖v‖H1(Ω)≤c(‖v‖L2(Ω)+‖∇v+∇vT‖L2(Ω))  for all v∈H1(Ω),‖v‖H1(Ω)≤c(‖v‖L2(Ω)+‖∇v+∇vT‖L2(Ω))  for all v∈H1(Ω), where v:=(Φ−id):Ω‾→Rn denotes the corresponding “displacement” vector field, and where the symmetric tensor field ∇v+∇vT:Ω‾→Sn is nothing but the linear part with respect to v   of the difference between the metric tensor fields ∇ΦT∇Φ∇ΦT∇Φ and I that respectively correspond to the deformations Φ and Θ=idΘ=id.Assume now that the identity mapping id   is replaced by a more general orientation-preserving immersion Θ∈C1(Ω‾;Rn). We then show in particular that, given any 10det⁡∇Φ>0 almost everywhere in Ω. Such an inequality thus constitutes an instance of a “nonlinear Korn inequality”, in the sense that the symmetric tensor field ∇ΦT∇Φ−∇ΘT∇Θ:Ω‾→Sn appearing in its right-hand side is now the exact difference between the metric tensor fields corresponding to the deformations Φ and Θ.We also show that, like in the linear case, an analogous nonlinear Korn inequality holds, but without the norm ‖Φ−Θ‖Lp(Ω)‖Φ−Θ‖Lp(Ω) in its right-hand side, if the difference Φ−ΘΦ−Θ vanishes on a subset Γ0Γ0 of Γ with dΓ-meas Γ0>0Γ0>0.The key to providing such nonlinear Korn inequalities is a generalization of the landmark “geometric rigidity lemma in H1(Ω)H1(Ω)” established in 2002 by G. Friesecke, R.D. James, and S. Müller, as later extended to W1,p(Ω)W1,p(Ω) by S. Conti.

RésuméSoit Ω un ouvert borné connexe de RnRn de frontière Γ lipschitzienne, l'ensemble Ω étant localement d'un seul coté de Γ, et soit Θ:Ω‾→Rn et Φ:Ω‾→Rn deux “déformations” suffisamment régulières de l'ensemble Ω‾. Alors l'inégalité de Korn classique exprime que, lorsque Θ=idΘ=id, il existe une constante c telle que‖v‖H1(Ω)≤c(‖v‖L2(Ω)+‖∇v+∇vT‖L2(Ω))  pour tout v∈H1(Ω),‖v‖H1(Ω)≤c(‖v‖L2(Ω)+‖∇v+∇vT‖L2(Ω))  pour tout v∈H1(Ω), où v:=(Φ−id):Ω‾→Rn represente le champ de “déplacements” correspondant, et où le champ de tenseurs symétriques ∇v+∇vT:Ω‾→Sn n'est autre que la partie linéaire en v   de la différence entre les champs de tenseurs métriques ∇ΦT∇Φ∇ΦT∇Φ et I, qui correspondent respectivement aux déformations Φ et Θ=idΘ=id.Supposons maintenant que l'application identique id   est remplacée par une immersion plus générale Θ∈C1(Ω‾;Rn) qui préserve l'orientation. Alors on montre en particulier que, pour tout 10det⁡∇Φ>0 presque partout dans Ω. Une telle inégalité constitue donc un exemple d'“inégalité de Korn non linéaire”, au sens que le champ de tenseurs symétriques ∇ΦT∇Φ−∇ΘT∇Θ:Ω‾→Sn apparaissant dans son membre de droite est maintenant la différence exacte entre les champs de tenseurs métriques correspondant aux déformations Φ et Θ.On montre également que, comme dans le cas linéaire, on peut établir une inégalité de Korn non linéaire analogue, mais sans la norme ‖Φ−Θ‖Lp(Ω)‖Φ−Θ‖Lp(Ω) dans son membre de droite, si la différence Φ−ΘΦ−Θ s'annule sur une partie Γ0Γ0 de Γ telle que dΓ-mes Γ0>0Γ0>0.La clef pour établir de telles inégalités de Korn non linéaires est une généralisation du remarquable “lemme de rigidité géométrique dans H1(Ω)H1(Ω)” établi en 2002 par G. Friesecke, R.D. James, et S. Müller, tel qu'il a été ensuite étendu à W1,p(Ω)W1,p(Ω) par S. Conti.