A variational approach to second order mean field games with density constraints: The stationary case

In this paper we study second order stationary Mean Field Game systems under density constraints on a bounded domain Ω⊂RdΩ⊂Rd. We show the existence of weak solutions for power-like Hamiltonians with arbitrary order of growth. Our strategy is a variational one, i.e. we obtain the Mean Field Game system as the optimality condition of a convex optimization problem, which has a solution. When the Hamiltonian has a growth of order q′∈]1,d/(d−1)[q′∈]1,d/(d−1)[, the solution of the optimization problem is continuous which implies that the problem constraints are qualified. Using this fact and the computation of the subdifferential of a convex functional introduced by Benamou and Brenier (see [1]), we prove the existence of a solution of the MFG system. In the case where the Hamiltonian has a growth of order q′≥d/(d−1)q′≥d/(d−1), the previous arguments do not apply and we prove the existence by means of an approximation argument.

RésuméDans cet article on étudie des systèmes de jeux à champ moyen sous contrainte de densité sur un domaine borné Ω⊂RdΩ⊂Rd. On démontre l'existence de solutions faibles pour des hamiltoniens de type puissance avec ordre de croissance arbitraire. Notre stratégie est variationnelle, on obtient le système de jeux à champ moyen comme condition d'optimalité d'un problème convexe, lequel a une solution. Quand l'hamiltonien a un ordre de croissance q′∈]1,d/(d−1)[q′∈]1,d/(d−1)[, la solution du problème d'optimisation est continue, ce qui implique que les contraintes du problème sont qualifiées. En utilisant cette proprieté et le calcul du sous-différentiel d'une fonctionnelle convexe introduite par Benamou et Brenier (voir [1]), on démontre l'existence d'une solution du système MFG. Dans les cas où l'hamiltonien a un ordre de croissance q′≥d/(d−1)q′≥d/(d−1), les arguments précédents ne sont pas applicables et on montre l'existence en utilisant un argument d'approximation.