Affine embeddings and intersections of Cantor sets

Let E,F⊂RdE,F⊂Rd be two self-similar sets. Under mild conditions, we show that F   can be C1C1-embedded into E if and only if it can be affinely embedded into E; furthermore if F cannot be affinely embedded into E  , then the Hausdorff dimension of the intersection E∩f(F)E∩f(F) is strictly less than that of F   for any C1C1-diffeomorphism f   on RdRd. Under certain circumstances, we prove the logarithmic commensurability between the contraction ratios of E and F if F can be affinely embedded into E  . As an application, we show that dimH⁡E∩f(F)

RésuméSoit E et F   deux ensembles auto-similaires dans RdRd. Sous des hypothèses raisonnables, on montre qu'il existe un plongement C1C1 de F dans E si et seulement s'il existe un tel plongement affine ; de plus, s'il n'existe pas de plongement affine de F dans E  , alors pour tout difféomorphisme C1C1 de RdRd la dimension de Hausdorff de l'intersection E∩f(F)E∩f(F) est strictement inférieure à celle de F. Dans certains cas, on montre que les logarithmes des facteurs de contraction de E et F sont commensurables lorsqu'il existe un plongement affine de F dans E  . En application, on montre que dimH⁡E∩f(F)