Spreading speed and profile for nonlinear Stefan problems in high space dimensions

We consider nonlinear diffusion problems of the form ut=Δu+f(u)ut=Δu+f(u) with Stefan type free boundary conditions, where the nonlinear term f(u)f(u) is of monostable, bistable or combustion type. Such problems are used as an alternative model (to the corresponding Cauchy problem) to describe the spreading of a biological or chemical species, where the free boundary represents the expanding front. We are interested in its long-time spreading behavior which, by recent results of Du, Matano and Wang [10], is largely determined by radially symmetric solutions. Therefore we will examine the radially symmetric case, where the equation is satisfied in |x|0c⁎>0. Subsequently, sharper estimate of the spreading speed was obtained by the authors of the current paper in [11], in the form that limt→∞⁡[h(t)−c⁎t]=Hˆ∈R1. In this paper, we consider the case N≥2N≥2 and show that a logarithmic shifting occurs, namely there exists c⁎>0c⁎>0 independent of N   such that limt→∞⁡[h(t)−c⁎t+(N−1)c⁎log⁡t]=hˆ∈R1. At the same time, we also obtain a rather clear description of the spreading profile of u(t,r)u(t,r). These results reveal striking differences from the spreading behavior modeled by the corresponding Cauchy problem.

RésuméOn considère des problèmes de diffusion non linéaires de la forme ut=Δu+f(u)ut=Δu+f(u) pour des condtions aux limites à frontière libre du type de Stefan, le terme non linéraire f(u)f(u) est du type monostable, ou bistable, ou de combustion. De tels problèmes sont considérés comme modèles alternatifs (au problème de Cauchy) pour décrire la dispersion d'espèces chimiques ou biologiques, la frontière libre représente le front de dispersion. On s'intéresse aux comportements dispersifs en temps long qui, d'après des résultats récents de Du, Matano et Wang [10], sont surtout déterminés par des solutions radialement symétriques. Ainsi on examine le cas radialement symétrique pour |x|0c⁎>0. Par la suite une estimation plus précise a été obtenue par les auteurs dans un article [11] sous la forme : limt→∞⁡[h(t)−c⁎t]=Hˆ∈R1. Dans cet article on considère les cas N⩾2N⩾2 et on montre qu'il existe une constante c⁎>0c⁎>0, indépendante de N  , telle que limt→∞⁡[h(t)−c⁎t+(N−1)c⁎log⁡t]=hˆ∈R1. De même on obtient une description assez précise du profil de dispersion u(t,r)u(t,r). Les résultats montrent des différences importantes de la dispersion si on les compare avec ceux obtenus dans le modèle du problème de Cauchy correspondant.