Lifespan of classical solutions to quasilinear wave equations outside of a star-shaped obstacle in four space dimensions

We study the initial–boundary value problem of quasilinear wave equations outside of a star-shaped obstacle in four space dimensions, in which the nonlinear term under consideration may explicitly depend on the unknown function itself. By some new Lt∞Lx2 and weighted Lt,x2 estimates for the unknown function itself, together with energy estimates and KSS type estimates, for the quasilinear obstacle problem we obtain a lower bound of the lifespan Tε≥exp⁡(cε2), which coincides with the sharp lower bound of lifespan estimate for the corresponding Cauchy problem.

RésuméOn étudie l'équation d'onde quasi-linéaire à l'extérieur d'un obstacle étoilé à quatre dimensions de l'espace, dans lequel le terme non linéaire peut dépendre explicitement sur la fonction inconnue. Par de nouvelles estimations de Lt∞Lx2 et pondérée type de Lt,x2 pour la fonction inconnue ainsi que les estimations de l'énergie et des estimations de type KSS, pour le problème quasi linéaire de l'obstacle en forme d'étoile, on obtient une borne inférieure de la durée de vie Tε≥exp⁡(cε2) qui coïncide avec la borne inférieure de la durée de vie qui est précise pour le problème de Cauchy correspondant.