Averaged controllability for random evolution Partial Differential Equations

We analyze the averaged controllability properties of random evolution Partial Differential Equations. We mainly consider heat and Schrödinger equations with random parameters, although the problem is also formulated in an abstract frame. We show that the averages of parabolic equations lead to parabolic-like dynamics that enjoy the null-controllability properties of solutions of heat equations in an arbitrarily short time and from arbitrary measurable sets of positive measure. In the case of Schrödinger equations we show that, depending on the probability density governing the random parameter, the average may behave either as a conservative or a parabolic-like evolution, leading to controllability properties, in average, of very different kind.

RésuméOn analyse la propriété de contrôlabilité en moyenne d'équations aux dérivées partielles dépendant de paramètres. On considére surtout les équations de la chaleur et de Schrödinger avec des paramètres aléatoires, bien que le problème soit également formulé dans un cadre abstrait. On montre que les moyennes des équations paraboliques conduisent à des dynamiques de nature parabolique qui vérifient la propriété de contrôlabilité à zéro, comme les solutions de l'équation de la chaleur, en un temps arbitrairememt court, à partir d'ensembles mesurables arbitraires de mesure positive. Dans le cas des équations de Schrödinger on montre que, en fonction de la densité de probabilité, la moyenne peut se comporter soit comme un modèle de type conservatif soit comme une équation parabolique, conduisant à des propriétés de contrôlabilité en moyenne très différentes.