Global continuation beyond singularities on the boundary for a degenerate diffusive Hamilton–Jacobi equation

In this article, we are interested in the Dirichlet problem for parabolic viscous Hamilton–Jacobi equations. It is well-known that the gradient of the solution may blow up in finite time on the boundary of the domain, preventing a classical extension of the solution past this singularity. This behavior comes from the fact that one cannot prescribe the Dirichlet boundary condition for all time and, in order to define a solution globally in time, one has to use “generalized boundary conditions” in the sense of viscosity solution. In this work, we treat the case when the diffusion operator is the p  -Laplacian where the gradient dependence in the diffusion creates specific difficulties. In this framework, we obtain the existence and uniqueness of a continuous, global in time, viscosity solution. For this purpose, we prove a Strong Comparison Result between semi-continuous viscosity sub and super-solutions. Moreover, the asymptotic behavior of u(x,t)t is analyzed through the study of the associated ergodic problem.

RésuméOn s'intéresse au problème de Dirichlet pour des équations paraboliques de type Hamilton–Jacobi avec diffusion non linéaire. Il est bien connu que le gradient de la solution peut exploser en temps fini sur le bord du domaine, ce qui constitue un obstacle pour étendre la solution au delà des singularités. Ce phénomène est lié à des pertes de conditions aux limites qui peuvent se produire à cause de la forte non-linéarité du terme hamiltonien et on doit utiliser la notion de condition aux limites généralisée au sens de la théorie des solutions de viscosité. Dans cet article on traite le cas du p  -Laplacien où la dépendance en gradient dans la diffusion crée des difficultés spécifiques. On démontre un résultat de comparaison fort qui nous permet d'obtenir l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité continue définie pour tous temps. De plus le comportement asymptotique de u(x,t)t est analysé via l'étude du problème ergodique associé.