Shell interactions for Dirac operators

The self-adjointness of H+VH+V is studied, where H=−iα⋅∇+mβH=−iα⋅∇+mβ is the free Dirac operator in R3R3 and V is a measure-valued potential. The potentials V under consideration are given by singular measures with respect to the Lebesgue measure, with special attention to surface measures of bounded regular domains. The existence of non-trivial eigenfunctions with zero eigenvalue naturally appears in our approach, which is based on well known estimates for the trace operator defined on classical Sobolev spaces and some algebraic identities of the Cauchy operator associated to H.

RésuméOn étudie le caractère auto-adjoint de H+VH+V, où H=−iα⋅∇+mβH=−iα⋅∇+mβ est l'opérateur de Dirac libre dans R3R3 et V est un potentiel à valeur mesure. Les potentiels V considerés sont donnés par des mesures singulières par rapport à la mesure de Lebesgue, avec une attention particulière au le cas des mesures de surface de domaines bornés réguliers. L'existence de fonctions propres non triviales à valeur propre nulle apparaît de façon naturelle dans notre approche, utilisant des estimations connues pour l'opérateur trace défini dans les espaces de Sobolev classiques et quelques identités algébriques de l'opérateur de Cauchy associé à H.