Structure of the positive solutions for supercritical elliptic equations in a ball

Let B⊂RNB⊂RN (N⩾3N⩾3) be a unit ball. We consider the bifurcation diagram of the positive solutions to the supercritical elliptic equation in B{Δu+λf(u)=0inB,u=0on∂B,u>0inB, where f(u)=up+g(u)f(u)=up+g(u)(p>pS:=(N+2)/(N−2))(p>pS:=(N+2)/(N−2)) and g(u)g(u) is a lower order term which satisfies certain assumptions. We show that if pS0λ⁎>0. Here,pJL:={1+4N−4−2N−1(N⩾11),∞(2⩽N⩽10). We give an example such that the bifurcation diagram can be classified by using our theorem and the characterization of the extremal solution by Brezis and Vázquez. The main tool is the intersection number between regular and singular solutions.

RésuméSoit B⊂RNB⊂RN(N⩾3)(N⩾3) la boule unité. On considére le diagramme de bifurcation des solutions positives de l'équation elliptique supercritique dans B{Δu+λf(u)=0inB,u=0on∂B,u>0inB, où f(u)=up+g(u)f(u)=up+g(u)(p>pS:=(N+2)/(N−2))(p>pS:=(N+2)/(N−2)) et g(u)g(u) est un terme d'ordre inférieur satisfaisant certaines conditions. On montre que, si pS0λ⁎>0. Ici,pJL={1+4N−4−2N−1(N⩾11),∞(2⩽N⩽10). On donne un exemple tel que le diagramme de bifurcation peut être classé à l'aide de notre théorème et de la caractérisation de la solution extrémale par Brezis et Vázquez. Le principal outil est le nombre d'intersections entre solutions régulières et singulières.