Existence of critical points with semi-stiff boundary conditions for singular perturbation problems in simply connected planar domains

Soit Ω un domaine borné lisse simplement connexe de R2. On édutdie l'existence de points critiques de l'énergie Eε(u)=1/2∫Ω|∇u|2+1/(4ε2)∫Ω(1−|u|2)2, où u est une fonction à valeurs complexes, dont la trace au bord est de module un et de degré prescrit d. Sous des hypothèses appropriées de non dégénérescence sur Ω, on démontre l'existence de points critiques pour ε petit. Dans le cas où le degré prescrit est égal à un, on peut préciser ce résultat. Premièrement, on obtient l'existence de points critiques dans tout domaine proche d'un disque. De plus, on démontre qu'il existe des points critiques dans la « plupart » des domaines.