Nash-type equilibria on Riemannian manifolds: A variational approach

Motivated by Nash equilibrium problems on ‘curved’ strategy sets, the concept of Nash–Stampacchia equilibrium points is introduced via variational inequalities on Riemannian manifolds. Characterizations, existence, and stability of Nash–Stampacchia equilibria are studied when the strategy sets are compact/noncompact geodesic convex subsets of Hadamard manifolds, exploiting two well-known geometrical features of these spaces both involving the metric projection map. These properties actually characterize the non-positivity of the sectional curvature of complete and simply connected Riemannian spaces, delimiting the Hadamard manifolds as the optimal geometrical framework of Nash–Stampacchia equilibrium problems. Our analytical approach exploits various elements from set-valued and variational analysis, dynamical systems, and non-smooth calculus on Riemannian manifolds. Examples are presented on the Poincaré upper-plane model and on the open convex cone of symmetric positive definite matrices endowed with the trace-type Killing form.

RésuméMotivé par des problèmes d'équilibres de Nash sur des ensembles « courbés » de stratégies, la notion d'équilibre de Nash–Stampacchia peut être introduite par des inégalités variationnelles sur des variétés riemanniennes. On étudie la caractérisation, l'existence et la stabilité d'équilibres de Nash–Stampacchia quand les ensembles de stratégies sont des sous-ensembles géodésiquement convexes, compacts ou non-compacts, de variétés d'Hadamard, en exploitant deux propriétés géométriques bien connues de ces espaces, utilisant la projection métrique. En fait ces propriétés caractérisent la non-positivité de la courbure sectionnelle des espaces de Riemann complets et simplement connexes, en identifiant les variétés d'Hadamard comme structure géométrique optimale oǔ poser les problèmes d'équilibre de Nash–Stampacchia. Notre approche analytique utilise plusieurs éléments d'analyse variationnelle et multi-valuée, des systèmes dynamiques et le calcul non-lisse sur les variétés riemanniennes. Des exemples sont présentés dans le cadre du demi-plan de Poincaré et dans le cône ouvert convexe des matrices définies positives muni d'une forme Killing de type trace.