Lane Emden problems with large exponents and singular Liouville equations

On considére le problème −Δu=|u|p−1u défini sur la boule unité B de R2 et où p>1. On s'interesse aux conditions au bord de Dirichlet. Pour ce problème, on étudie le comportement asymptotique des solutions radiales nodales d'énergie minimale up lorsque p→+∞. En admettant que up(0)<0, on montre qu'un changement d'échelle de la partie négative up− converge vers l'unique solution régulière du problème de Liouville dans R2 tandis qu'un autre changement d'échelle de la partie positive up+ converge vers une solution (singulière) d'un problème singulier de Liouville dans R2. On obtient également les valeurs limites des normes dans L∞ de up− et up+, ainsi qu'une valeur limite de l'énergie. Finalement, on montre que la ligne nodale Np:={x∈B:|x|=rp} se concentre au centre et on évalue la vitesse de convergence de rp.