Characterization of ellipsoids through an overdetermined boundary value problem of Monge–Ampère type

The study of the optimal constant in an Hessian-type Sobolev inequality leads to a fully nonlinear boundary value problem, overdetermined with non-standard boundary conditions. We show that all the solutions have ellipsoidal symmetry. In the proof we use the maximum principle applied to a suitable auxiliary function in conjunction with an entropy estimate from affine curvature flow.

RésuméL'étude de la meilleure constante dans une inégalité de Sobolev « de type hessien » conduit à un problème aux limites complètement non linéaire surdéterminé avec des conditions aux limites non standard. On démontre que les lignes de niveau de toutes les solutions de ce problème sont des ellipsoïdes. La démonstration utilise le principe du maximum pour une fonction auxiliaire, ainsi qu'une inégalité d'entropie pour le mouvement par courbure affine.