A sphere theorem for pinching positive scalar curvature manifolds

Let (Mn,g)(Mn,g), n⩾3n⩾3, be a smooth closed Riemannian manifold with positive scalar curvature RgRg. There exists a positive constant C=C(M,g)C=C(M,g), which is a geometric invariant, such that Rg⩽n(n−1)CRg⩽n(n−1)C. In this paper we prove that Rg=n(n−1)CRg=n(n−1)C if and only if (Mn,g)(Mn,g) is isometric to the Euclidean sphere Sn(C)Sn(C) with constant sectional curvature C. Also, there exists a Riemannian metric g   on MnMn such that the scalar curvature satisfies the pinched condition,n2(n−2)n−1C

RésuméSoit (Mn,g)(Mn,g), n⩾3n⩾3, une variété riemannienne compacte C∞C∞ de courbure scalaire RgRg positive. Il existe une constante positive C=C(M,g)C=C(M,g), qui est un invariant géométrique, telle que Rg⩽n(n−1)CRg⩽n(n−1)C. Dans cet article, on démontre que Rg=n(n−1)CRg=n(n−1)C si et seulement si (Mn,g)(Mn,g) est isométrique à la sphère euclidienne Sn(C)Sn(C) à courbure sectionnelle C constante. De plus, il existe une métrique riemannienne g   sur MnMn telle que l'inégalité suivante soit vérifiée,n2(n−2)n−1C