Integral inequalities for the Hilbert transform applied to a nonlocal transport equation

We prove several weighted inequalities involving the Hilbert transform of a function f(x)f(x) and its derivative. One of those inequalities,−∫fx(x)[Hf(x)−Hf(0)]|x|αdx⩾Cα∫(f(x)−f(0))2|x|1+αdx, is used to show finite time blow-up for a transport equation with nonlocal velocity.

RésuméDans cet article nous présentons la démonstration de plusieurs inegalités satisfaites par la transformation de Hilbert d'une fonction f(x)f(x) et sa derivée f′(x)f′(x). Nous avons l'estimation suivante :−∫fx(x)[Hf(x)−Hf(0)]|x|αdx⩾Cα∫(f(x)−f(0))2|x|1+αdx, où la constante CαCα est strictement positive. Nous avons aussi utilisé cette inegalité pour démontrer l'explosion en un temps fini des solutions d'une équation de transport avec une vitesse nonlocale.