Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the strain tensor in linearized elasticity

In a previous work, it was shown how the linearized strain tensor field can be considered as the sole unknown in the Neumann problem of linearized elasticity posed over a domain Ω⊂R3, instead of the displacement vector field u∈H1(Ω) in the usual approach. The purpose of this Note is to show that the same approach applies as well to the Dirichlet–Neumann problem. To this end, we show how the boundary condition u=0 on a portion Γ0 of the boundary of Ω can be recast, again as boundary conditions on Γ0, but this time expressed only in terms of the new unknown e∈L2(Ω).

RésuméDans un travail antérieur, on a montré comment le champ des tenseurs linéarisés des déformations peut être considéré comme la seule inconnue dans le problème de Neumann pour lʼélasticité linéarisée posé sur un domaine Ω⊂R3, au lieu du champ u∈H1(Ω) des déplacements dans lʼapproche habituelle. Lʼobjet de cette Note est de montrer que la même approche sʼapplique aussi bien au problème de Dirichlet–Neumann. À cette fin, nous montrons comment la condition aux limites u=0 sur une portion Γ0 de la frontière de Ω peut être ré-écrite, à nouveau sous forme de conditions aux limites sur Γ0, mais exprimées cette fois uniquement en fonction de la nouvelle inconnue e∈L2(Ω).