A Riemannian approach to strain measures in nonlinear elasticity

The isotropic Hencky strain energy appears naturally as a distance measure of the deformation gradient to the set SO(n)SO(n) of rigid rotations in the canonical left-invariant Riemannian metric on the general linear group GL(n)GL(n). Objectivity requires the Riemannian metric to be left-GL(n)GL(n)-invariant, isotropy requires the Riemannian metric to be right-O(n)O(n)-invariant. The latter two conditions are only satisfied for a three-parameter family of Riemannian metrics on the tangent space of GL(n)GL(n). Surprisingly, the final result is basically independent of the chosen parameters.In deriving the result, geodesics on GL(n)GL(n) have to be parameterized and a novel minimization problem, involving the matrix logarithm for non-symmetric arguments, has to be solved.

RésuméL'énergie isotrope de Hencky est une mesure naturelle de la distance du gradient de déformation à l'ensemble des rotations rigides SO(n)SO(n) dans la métrique riemanienne canonique du groupe linéaire GL(n)GL(n). Le principe d'indifférence matérielle exige que la métrique soit GL(n)GL(n)-invariante à gauche, et l'isotropie implique son invariance à droite par O(n)O(n). Ces deux conditions sont uniquement satisfaites par une famille à trois paramètres de métriques riemaniennes sur l'espace tangent à GL(n)GL(n). On note cependant que le résultat final se révèle, en essence, indépendant des paramètres choisis. Pour obtenir ce résultat, on effectue une paramétrisation des géodésiques de GL(n)GL(n) et l'on résout un problème de minimisation qui fait intervenir le logarithme de matrices non symétriques.