Efficient computation of Hessian-based enhancement filters for tubular structures in 3D images

This work presents guidelines for a computationally efficient implementation of multiscale image filters based on eigenanalysis of the Hessian matrix, for the enhancement of tubular structures. Our focus is the application to 3D medical images of blood vessels. The method uses matrix trace, determinant and sign to discard voxels unlikely to belong to vessels, prior to the calculation of the Hessian eigenvalues. As example of time savings, we provide results obtained in four computed tomography datasets (300 × 300 × 300 voxels) containing coronary and pulmonary arteries. The test based on the Hessian trace avoided the computation of the eigenvalues in half of the voxels on average, while the test combining the Hessian determinant and sign eliminated up to 10% additional voxels. The actual time savings depend on the algorithm used to compute the eigenvalues for the remaining voxels. With a very fast algorithm using a closed-form solution, the computational time was reduced from 20.5 to 12.5 seconds per scale, but the time gained thanks to the more complex of the two tests was negligible. However, this fast algorithm is prone to numerical instabilities. Accurate computation of the eigenvalues requires the use of iterative or hybrid algorithms. In this case, both tests produce time savings and the computational time can be reduced by several minutes per scale.

RésuméCe travail concerne les filtres multi-échelles de rehaussement de structures tubulaires dans des images, basés sur les valeurs propres de la matrice hessienne. L’article présente des indications pour leur implantation efficiente en termes de temps de calcul. L’application visée concerne les images médicales 3D de vaisseaux sanguins. La méthode utilise les invariants de matrices : trace, déterminant et signe, pour éliminer les voxels n’appartenant pas aux vaisseaux, avant de calculer les valeurs propres du hessien. Nous illustrons le gain de temps sur quatre images tomodensitométriques (300 × 300 × 300 voxels) contenant les artères coronaires et pulmonaires. Le test basé sur la trace du hessien a permis d’éviter le calcul des valeurs propres pour la moitié des voxels en moyenne, tandis que le test combinant le déterminant et le signe du hessien a éliminé jusqu’à 10 % de voxels supplémentaires. La réduction du temps de calcul dépend de l’algorithme utilisé pour calculer les valeurs propres pour les voxels restants. Avec un algorithme très rapide, utilisant une solution analytique, le temps de calcul est passé de 20,5 à 12,5 secondes par échelle, mais le gain de temps réalisé grâce au plus complexe des deux tests a été négligeable. Cependant, cet algorithme rapide présente des instabilitiés numériques. Le calcul précis des valeurs propres nécessite l’utilisation d’algorithmes itératifs ou hybrides. Dans ce cas, les deux tests réduisent le temps de calcul et ce, de plusieurs minutes par échelle au total.