Correlation based passive imaging with a white noise source

L'imagerie passive concerne des problémes oú des ondes générées par des sources inconnues sont enregistrées et ensuite utilisées pour reconstruire le milieu dans lequel elles se propagent. Les sources sont typiquement modélisées par des variables aléatoires dont la distribution statistique du bruit est connu, et on suppose de connaitre quelque information statistique. Dans cet article nous étudions l'équation stochastique des ondes ∂t2u−Δgu=χW, où W est une variable aléatoire ayant pour distribution un bruit blanc sur R1+n, n≥3, χ est une fonction réguliére qui s'annule pour des temps négatifs et en dehors d'un ensemble compact dans l'espace, et Δg est l'opérateur de Laplace-Beltrami associé à un tenseur métrique Riemannien régulier et non-trappingg sur Rn. Le tenseur métrique g modélise le milieu que l'on veut imager, et nous supposons qu'il coincide avec la métrique Euclidienne en dehors d'un ensemble compact. Nous considérons les correlations empiriques sur un ouvert X⊂Rn,CT(t1,x1,t2,x2)=1T∫0Tu(t1+s,x1)u(t2+s,x2)ds,t1,t2>0,x1,x2∈X, pour T>0. Sous l'hypothèse que χ ne s'annule pas entièrement sur X et reste constante dans le temps pour t>1, nous montrons que la donnée CT, lorsque T→∞, devient statistiquement stable, c'est-à-dire indépendante de la réalisation de W. Notre résultat principal est que cette limite, en probabilité, détermine la variété Riemannienne (Rn,g) à une isométrie près.