Logarithmic stability in determining the time-dependent zero order coefficient in a parabolic equation from a partial Dirichlet-to-Neumann map. Application to the determination of a nonlinear term

Nous démontrons un nouveau résultat de stabilité concernant la détermination du terme d'ordre zéro, dans une équation parabolique, à partir de l'opérateur Dirichlet-à-Neumann. La nouveauté est que, contrairement aux résultats précédents, nous pouvons nous affranchir de la connaissance de la donnée en temps final. Nous appliquons ensuite ce résultat pour établir la stabilité pour le problème inverse qui consiste à déterminer le terme non linéaire, dans une équation parabolique semi-linéaire, à partir de l'opérateur Dirichlet-à-Neumann “linéarisé” correspondant. Notre analyse est fondée sur la construction de solutions de l'optique géométrique nulles sur une partie du bord ainsi qu'en temps initial ou final. La construction de ces solutions particulières repose, pour l'essentiel, sur une version parabolique d'une inégalité de Carlemen due à Bukhgeim and Uhlmann [11].