Rigidity of optimal bases for signal spaces

On s'intéresse à l'approximation optimale pour la norme L2 de fonctions contrôlées en norme H1. On prouve que la base des fonctions propres du laplacien avec condition de Dirichlet au bord est l'unique base orthonormale (bi) de L2 qui réalise une approximation optimale au sens de‖f−∑i=1n(f,bi)bi‖L22≤‖∇f‖L22λn+1∀f∈H01(Ω),∀n≥1. Ceci résout un problème ouvert posé par Y. Aflalo, H. Brezis, A. Bruckstein, R. Kimmel et N. Sochen (Best bases for signal spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (12) (2016) 1155-1167).