Nonlinear problems with solutions exhibiting a free boundary on the boundary

Nous démontrons l'existence de solutions u⩾0 de l'équation −Δu+u=0 sur un domaine borné régulier Ω avec la condition de Neumann singulière suivante : ∂u∂ν=−u−β+λf(x,u) sur ∂Ω∩{u>0} oú 0<β<1. Il existe une constante λ∗ telle que pour 0<λ<λ∗, toute solution u⩾0 s'annule sur une partie du bord, de mesure (surfacique) strictement positive. Pour λ>λ∗, nous démontrons l'existence d'une solution maximale positive. Nous analysons ses propriétés de stabilité linéaire et de régularité. On démontre que les minimiseurs de la fonctionnelle d'énergie associée sont réguliers et vérifient l'équation ainsi que la condition de bord.