Stationary problem of third-grade fluids in two and three dimensions: existence and uniqueness

Cet article est consacré au problème stationnaire des fluides de grade trois en dimension deux et trois. En dimension deux, nous montrons l'existence de solutions et l'unicité, pour une frontière de classe C2,1 et une donnée petite, en généralisant la méthode utilisée par J.M. Bernard pour le problème stationnaire des fluides de grade deux (nous avons affaire à un polynôme de degré quatre au lieu de deux). Contrairement au cas de la dimension deux, la résolution du problème des fluides de grade trois en dimension trois requière la condition physique |α1+α2|<(24νβ)1/2. De cette condition, nous déduisons deux “pseudo matrice” pour l'opérateur ν|A(u)|2+(α1+α2)tr(A(u)3)+β|A(u)|4, où A(u) est une matice symétrique d'ordre 3 à trace nulle. De là, avec, en plus, une fine estimation du produit scalaire (|A(u)|2A(u)-|A(v)|2A(v),A(u)-A(v)), nous sommes capables de prouver l'existence de solutions et l'unicité, pour une frontière de classe C2,1 et une donnée petite, en dimension trois.