Construction and stability of blowup solutions for a non-variational semilinear parabolic system

Nous considérons le système parabolique suivant :{∂tu=Δu+|v|p−1v,∂tv=μΔv+|u|q−1u,u(⋅,0)=u0,v(⋅,0)=v0, dans tout l'espace RN, où p,q>1 et μ>0. Nous prouvons l'existence d'une donnée initiale telle que la solution associée explose en temps fini T(u0,v0) simultanément en u et v, et en un unique point a. Plus présicément, nous prouvons que cette solution a le comportement asymptotique suivant :{u(x,t)∼Γ[(T−t)(1+b|x−a|2(T−t)|log⁡(T−t)|)]−(p+1)pq−1,v(x,t)∼γ[(T−t)(1+b|x−a|2(T−t)|log⁡(T−t)|)]−(q+1)pq−1, avec b=b(p,q,μ)>0 et (Γ,γ)=(Γ(p,q),γ(p,q)). La construction de cette solution découle de la réduction du problème à un problème de dimension finie et un argument topologique basé sur la théorie de l'index pour conclure. Deux difficultés majeures se sont posées lors de la preuve :