Potential automata. Application to the genetic code III

In previous notes, we have described both mathematical properties of potential (n-switches) and potential-Hamiltonian (Liénard systems) continuous differential systems, and also biological applications, especially those concerning primitive cyclic RNAs related to the genetic code. In the present note, we give a general definition of a potential automaton, and we show that a discrete Hopfield-like system already introduced by Goles et al. is a good candidate for such a potential automaton: it has a Lyapunov functional that decreases on its trajectories and whose time derivative is just its discrete velocity. Then we apply this new notion of potential automaton to the genetic code. We show in particular that the consideration of only physicochemical properties of amino-acids, like their molecular weight, hydrophobicity and ability to create hydrogen bonds suffices to build a potential decreasing on trajectories corresponding to the synonymy classes of the genetic code. Such an ‘a minima’ construction reinforces the classical stereochemical hypothesis about the origin of the genetic code and authorizes new views about the optimality of its synonymy classes. To cite this article: J. Demongeot et al., C. R. Biologies 329 (2006).

RésuméDans les notes précédant cet article, nous avons décrit des systèmes différentiels continus potentiels (de type « n  -switches ») et potentiel-hamiltoniens (de type « systèmes de Liénard »), dont les équations étaient bien adaptées à la modélisation des systèmes dynamiques en biologie. Par exemple, un système différentiel potentiel défini sur Rn est du type : ∀i=1,…,n∀i=1,…,n, dxi/dt=−∂P/∂xidxi/dt=−∂P/∂xi, où P   est une fonction réelle continûment différentiable sur Rn. Nous donnons dans cet article une définition du même type pour les automates discrets et nous montrons, à titre d'exemple, un système de type Hopfield, déjà étudié par Goles et al., pour lequel il existe une fonction de Lyapunov décroissant le long des trajectoires. Nous montrons que la dérivée temporelle de cette fonction de Lyapunov est exactement la vitesse discrète de l'automate et nous appliquons cette nouvelle notion au code génétique. Nous montrons en particulier que l'on peut construire un potentiel uniquement à partir de propriétés physicochimiques simples des amino acides, comme leur poids moléculaire, leur hydrophobicité et leur capacité à créer des liaisons hydrogène, les orbites de l'automate potentiel correspondant n'étant autres que les classes de synonymie du code. Leur construction « a minima » renforce l'hypothèse classique stéréochimique quant à l'origine du code génétique et ouvre de nouvelles perspectives vers l'optimalité de ses classes de synonymie. Pour citer cet article : J. Demongeot et al., C. R. Biologies 329 (2006).