Liénard systems and potential–Hamiltonian decomposition – Applications in biology

In separated notes, we described the mathematical aspects of the potential–Hamiltonian (PH) decomposition, in particular, for n-switches and Liénard systems [J. Demongeot, N. Glade, L. Forest, Liénard systems and potential–Hamiltonian decomposition – I. Methodology, II. Algorithm and III. Applications, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, in press]. In the present note, we give some examples of biological regulatory systems susceptible to be decomposed. We show that they can be modelled in terms of 2D ordinary differential equations belonging to n-switches and Liénard system families [O. Cinquin, J. Demongeot, High-dimensional switches and the modeling of cellular differentiation, J. Theor. Biol. 233 (2005) 391–411]. Although simplified, these models can be decomposed into a set of equations combining a potential and a Hamiltonian part. We discuss about the advantage of such a PH-decomposition for understanding the mechanisms involved in their regulatory abilities. We suggest a generalized algorithm to deal with differential systems having a second part of rational-fraction type (frequently used in metabolic systems). Finally, we comment what can be interpreted as a precise signification in biological systems from the dynamical behaviours of both the potential and Hamiltonian parts. To cite this article: L. Forest et al., C. R. Biologies 330 (2007).

RésuméDans des notes séparées [J. Demongeot, N. Glade, L. Forest, Liénard systems and potential–Hamiltonian decomposition – I. Methodology, II. Algorithm and III. Applications, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, in press], nous avons décrit la décomposition potentielle–hamiltonienne pour des systèmes de type n-switch ou de Liénard. Leurs équations sont bien adaptées à la modélisation des systèmes dynamiques en biologie. Nous donnons ici des exemples de systèmes de régulation biologique pouvant être écrits sous la forme d'équations de Liénard et également sous forme de systèmes n-switch [O. Cinquin, J. Demongeot, High-dimensional switches and the modeling of cellular differentiation, J. Theor. Biol. 233 (2005) 391–411]. Nous discutons ensuite de l'intérêt de connaître les contributions potentielles et hamiltoniennes de ces systèmes pour la compréhension de leurs mécanismes. Pour terminer, nous suggérons un algorithme prenant en compte des systèmes différentiels à second membre de type fraction rationnelle rencontrés dans les modèles métaboliques, pour lesquels les parties potentielle et hamiltonienne ont des significations biologiques précises. On explique comment utiliser en pratique cette décomposition au voisinage de leurs attracteurs. Pour citer cet article : L. Forest et al., C. R. Biologies 330 (2007).