An isoperimetric inequality for a nonlinear eigenvalue problem

We prove an isoperimetric inequality of the Rayleigh–Faber–Krahn type for a nonlinear generalization of the first twisted Dirichlet eigenvalue, defined byλp,q(Ω)=inf{‖∇v‖Lp(Ω)‖v‖Lq(Ω),v≠0,v∈W01,p(Ω),∫Ω|v|q−2vdx=0}. More precisely, we show that the minimizer among sets of given volume is the union of two equal balls.

RésuméOn montre une inégalité isopérimétrique du type Rayleigh–Faber–Krahn pour une généralisation non-linéaire de la première valeur propre de Dirichlet torsadée, définie parλp,q(Ω)=inf{‖∇v‖Lp(Ω)‖v‖Lq(Ω),v≠0,v∈W01,p(Ω),∫Ω|v|q−2vdx=0}. Plus précisément, on montre que le minimum parmi les ensembles de volume donné est lʼunion de deux boules égales.