A spectral result for Hardy inequalities

Let P be a linear, elliptic second order symmetric operator, with an associated quadratic form q, and let W be a non-negative potential such that the Hardy inequalityλ0∫ΩWu2⩽q(u) holds with positive best constant λ0λ0. We give sufficient conditions so that the spectrum of the operator 1WP is [λ0,∞)[λ0,∞). In particular, we apply this to several well-known Hardy inequalities: (improved) Hardy inequalities on a bounded convex domain of RnRn with potentials involving the distance to the boundary, and Hardy inequalities for minimal submanifolds of RnRn.

RésuméSoit P un opérateur linéaire elliptique du second ordre, q sa forme quadratique associée, et W un potentiel positif tel que l'inégalité de Hardyλ0∫ΩWu2⩽q(u) soit vérifiée avec la meilleure constante λ0λ0. On donne des conditions suffisantes pour le spectre de l'opérateur 1WP soit [λ0,∞)[λ0,∞). En particulier, on applique ceci à plusieurs inégalités de Hardy bien connues : inégalités de Hardy améliorées sur un domaine convexe borné de RnRn avec un potentiel dépendant de la distance au bord, et inégalités de Hardy pour des sous-variétés minimales de RnRn.