Sharp Hardy and Hardy-Sobolev inequalities with point singularities on the boundary

Nous étudions l'inégalité de Hardy dans le cas où la singularité se trouve sur la frontière d'un domain borné sur Rn qui satisfait à la fois une condition de boule intérieure et extérieure sur la singularité. Nous présentons la constante explicite de Hardy n2/4 obtenue dans le cas où la boule extérieure est suffisamment large et montrons la nécessité de la condition de la boule extérieure. Nous présentons une amélioration de l'inégalité de Hardy avec la meilleure constante en ajoutant un term explicite de Sobolev. Par la suite, nous présentons certains critères capables de caractériser les potentiels maximaux qui améliorent l'inégalité de Hardy. En bafouant les critères nous produisons des améliorations successives avec des constantes explicites. Notre approche peut être appliquée dans des domaines moins réguliers, comme des cônes. Dans le cas d'une cône, contrairement au cas régulier, la constante de Sobolev dépend de l'ouverture de la cône.