Thickness and outerthickness for embedded graphs

با استفاده از روش حذف قطعه های پشته سازی جاسازی ها برای تقریبی ضخامت و ضخامت بیرونی، مرزهای بالایی جدیدی را برای ضخامت و بیرونی گراف به دست می آوریم. ما همچنین نشان می دهیم که هر گراف غیر تورباری غیر مسطح می تواند لبه را به یک نمودار مسطح و یک نمودار بیرونی پلان تقسیم کند. این بدان معنی است که بیرونی توری (حداکثر بیثبیت کلیه تمام نمودارهای توریال) 3 است. در نهایت، ما نشان می دهیم که تمام گرافهای قابل تعویض در دو طرف دارای ضخامت بیشتر از 3 و بیرونی کمترین 5 هستند.