Fonctions de Mittag–Leffler et processus de Lévy stables sans sauts négatifs

On remarque que la fonction Eα(xα)−αxα−1Eα′(xα) est complètement monotone pour tout α∈[1,2]α∈[1,2]. Grâce à l’expression de sa densité de Bernstein, on en déduit une identité en loi entre temps de sortie unilatères de processus de Lévy α-stablesα-stables complètement asymétriques. Cette dernière permet, dans le cas spectralement positif, de donner une nouvelle expression intégrale de la densité du supremum, différente de celle qui a été obtenue récemment avec une autre méthode par Bernyk, Dalang et Peskir (2008) [1].

We remark that a certain transformation of the Mittag-Leffler function α is completely monotone for every α ∈ [1,2]. Thanks to the exact expression of its Bernstein density function, we obtain an identity in law between one-sided exit times for completely asymmetric stable Lévy processes. In the spectrally positive case, this identity gives an expression for the density of the running supremum which is different from the one recently obtained by Bernyk, Dalang and Peskir (2008) [1].