Quelques propriétés des sous-groupes de Gal(k((t))/k)

RésuméL'objet de cet article est l'étude de certaines propriétés structurelles des sous-groupes du groupe Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k), des k-automorphismes pour un corps commutatif k   donné du corps k((t))k((t)) des séries de Laurent à coefficients dans k  . Après avoir montré que le centre de Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) est trivial en toute caractéristique, nous montrons qu'en caractéristique nulle le centre d'un sous-groupe non abélien de Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) est nécessairement cyclique, propriété que nous notons (Zc)(Zc) en toute généralité pour un groupe. Ce résultat est obtenu grâce à une étude fine du centralisateur de chaque élément de Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k). Cette étude repose principalement sur l'introduction de l'élévation à la puissance a   (où a∈ka∈k) définie sur le sous-groupe des automorphismes principaux (i.e. l'ensemble des σ∈Gal(k((t))/k)σ∈Gal(k((t))/k) tels que v(σ(t)−t)≥2v(σ(t)−t)≥2). En marge de cette étude nous montrons en particulier que ce sous-groupe est de type CA.Nous étudions ensuite la propriété (Zc)(Zc). Nous montrons que la somme amalgamée de deux groupes possédant la propriété (Zc)(Zc) sur un groupe cyclique possède la propriété (Zc)(Zc). Ce résultat nous amène à regarder la possibilité d'amalgames de torsion dans Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) : étant donnés deux éléments de torsion de Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k), le sous-groupe engendré par ces élément est-il un amalgame ? Nous donnons une interprétation graphique de ce problème en connexion avec la théorie de Serre–Bass et nous décrivons deux situations, l'une où la réponse à la question est oui et l'autre non.

This article is devoted to the study of some structural properties of subgroups of Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k), group of k  -automorphisms of k((t))k((t)), the Laurent series field on a commutative field k  . We start showing that the center of Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) is trivial in every characteristic. Then, assuming chark=0, we show that the center of any non-abelian subgroup of Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) is always a cyclic group, property that is called (Zc)(Zc) for any group G  . This last result is given by closely investigating the centralizer of any element of Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k). This study is based on the introduction of raising an automorphism to the power a   (for a∈ka∈k) which is defined on principal automophisms subgroup (consisting of σ∈Gal(k((t))/k)σ∈Gal(k((t))/k) satisfying v(σ(t)−t)≥2v(σ(t)−t)≥2). In particular, alongside this study we show that this last subgroup is a CA-group.We then turn our interest for groups having (Zc)(Zc) property. We show that the free product with amalgamation of two groups having (Zc)(Zc) property over a third group has continue having (Zc)(Zc) property. This results leads us to wonder that given two torsion elements of Gal(k((t))/k)Gal(k((t))/k) whether or not the subgroup generated by these two elements is a free product with amalgamation. We also provide a graphical interpretation of this problem in connection with Serre–Bass theory on trees and we give two different situations on such subgroups, one where the answer is positive and another situation with a negative answer.