Classes réalisables d'extensions métacycliques de degré lm

RésuméSoient k un corps de nombres et Ok son anneau d'entiers. Soient l un nombre premier et m un entier naturel. Soient C (resp. H) un groupe cyclique d'ordre l (resp. m). Soit Γ=C⋊H un groupe métacyclique d'ordre lm, avec H opérant fidèlement sur C. Soient M un Ok-ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ] contenant Ok[Γ], et Cl(M) le groupe des classes des M-modules localement libres. On définit l'ensemble R(M) des classes réalisables comme étant l'ensemble des classes c∈Cl(M) telles qu'il existe une extension N/k modérément ramifiée, à groupe de Galois isomorphe à Γ, avec la classe de M⊗Ok[Γ]ON est égale à c, où ON est l'anneau des entiers de N. Dans cet article, on définit un sous-ensemble de R(M) et on montre, par l'intermédiaire d'une description utilisant un idéal de Stickelberger, qu'il est un sous-groupe de Cl(M), sous l'hypothèse que k est linéairement disjoint du l-ième corps cyclotomique sur Q.

Let k be a number field and Ok its ring of integers. Let l be a prime number and m a natural number. Let C (resp. H) be a cyclic group of order l (resp. m). Let Γ=C⋊H be a metacyclic group of order lm, with H acting faithfully on C. Let M be a maximal Ok-order in the semi-simple algebra k[Γ] containing Ok[Γ], and Cl(M) its locally free class group. We define the set R(M) of realizable classes to be the set of classes c∈Cl(M) such that there exists a Galois extension N/k which is tame, with Galois group isomorphic to Γ, and for which [M⊗Ok[Γ]ON]=c, where ON is the ring of integers of N. In the present article, we define a subset of R(M) and prove, by means of a description using a Stickelberger ideal, that it is a subgroup of Cl(M), under the hypothesis that k and the l-th cyclotomic field over Q are linearly disjoint.