Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques de mauvaise réduction

RésuméCet article comporte deux parties indépendantes, mais complémentaires. La première prouve l'annulation du groupe de Chow des classes de zéro-cycles de degré zéro modulo équivalence rationnelle pour une hypersurface cubique de dimension ⩾10 sur un corps p-adique ou sur un corps C2 (et, en fait, la R-trivialité d'une telle hypersurface). Ceci se fait sans hypothèse de bonne réduction (ni même de lissité) sur l'hypersurface. La seconde partie va dans la direction opposée et donne un exemple explicite d'hypersurface cubique lisse de dimension 3 (nécessairement de mauvaise réduction) sur un corps tel que C((ν,t)) (ou C((ν))((t))) dont le groupe de Chow des classes de zéro-cycles de degré zéro modulo équivalence rationnelle n'est pas nul.

This article consists of two independent, but related, parts. The first one proves the vanishing of the Chow group of classes of zero-cycles of degree zero modulo rational equivalence for a cubic hypersurface of dimension ⩾10 on a p-adic or C2 field (and, in fact, the R-triviality of such a hypersurface). This is done without the assumption of good reduction (or even smoothness). The second part goes in the other direction and gives an explicit example of a smooth cubic hypersurface of dimension 3 (necessarily of bad reduction) on a field such as C((ν,t)) (or C((ν))((t))) whose Chow group of classes of zero-cycles of degree zero modulo rational equivalence does not vanish.