Générateurs de l'anneau des entiers d'une extension cyclotomique

RésuméSoit p un nombre premier impair, soit q=pm, où m est un entier positif ; notons ζq une racine primitive q-ième de l'unité et Oq l'anneau des entiers de Q(ζq). Dans [I. Gaál, L. Robertson, Power integral bases in prime-power cyclotomic fields, J. Number Theory 120 (2006) 372–384] I. Gaál et L. Robertson montrent que si , où est l'ordre du groupe des classes de , alors si α∈Oq engendre Oq (autrement dit Z[α]=Oq) soit α est un conjugué d'un translaté par un entier de ζq soit est un entier impair. Dans notre travail nous montrons que nous pouvons éliminer l'hypothèse sur . Autrement dit nous prouvons que si α∈Oq engendre Oq soit α est un conjugué d'un translaté par un entier de ζq soit est un entier impair.

Let p be an odd prime and q=pm, where m is a positive integer. Let ζq be a qth primitive root of 1 and Oq be the ring of integers in Q(ζq). In [I. Gaál, L. Robertson, Power integral bases in prime-power cyclotomic fields, J. Number Theory 120 (2006) 372–384] I. Gaál and L. Robertson show that if , where is the class number of , then if α∈Oq is a generator of Oq (in other words Z[α]=Oq) either α is equals to a conjugate of an integer translate of ζq or is an odd integer. In this paper we show that we can remove the hypothesis over . In other words we show that if α∈Oq is a generator of Oq then either α is a conjugate of an integer translate of ζq or is an odd integer.