Étude du cas rationnel de la théorie des formes linéaires de logarithmes

RésuméDans ce travail, nous établissons des mesures d'indépendance linéaire de logarithmes d'un groupe algébrique commutatif dans le cas rationnel. Plus précisément, soit k un corps de nombres et v0 une place quelconque de k. Soit G un groupe algébrique commutatif défini sur k et H un sous-groupe algébrique connexe de G, d'algèbre de Lie Lie(H). Soit u∈Lie(G(Cv0)) un logarithme d'un point p de G(k). Dans le cas non-périodique (le point p n'est pas de torsion modulo certains sous-groupes de G), nous obtenons des minorations de la distance de u à Lie(H)⊗kCv0 qui généralisent en partie les mesures déjà connues dans le cas d'un groupe linéaire. Les principales caractérisques de ces résultats sont d'une part d'améliorer la dépendance en la hauteur loga du point p, en supprimant une puissance de logloga, et, d'autre part, d'être valides dans un contexte très général. La démonstration utilise le formalisme des tailles de sous-schémas formels au sens de Bost en association avec un lemme arithmétique de Raynaud. Nous avons également recours à un lemme de Siegel absolu et, lorsque v0 est ultramétrique, à un lemme d'interpolation de Roy.

We establish new measures of linear independence of logarithms on commutative algebraic groups in the so-called rational case. More precisely, let k be a number field and v0 be an arbitrary place of k. Let G be a commutative algebraic group defined over k and H be a connected algebraic subgroup of G. Denote by Lie(H) its Lie algebra at the origin. Let u∈Lie(G(Cv0)) a logarithm of a point p∈G(k). Assuming (essentially) that p is not a torsion point modulo proper connected algebraic subgroups of G, we obtain lower bounds for the distance from u to Lie(H)⊗kCv0. For the most part, they generalize the measures already known when G is a linear group. The main feature of these results is to provide a better dependence in the height loga of p, removing a polynomial term in logloga. The proof relies on sharp estimates of sizes of formal subschemes associated to H (in the sense of Bost) obtained from a lemma by Raynaud as well as an absolute Siegel lemma and, in the ultrametric case, a recent interpolation lemma by Roy.