Essentialité dans les bases additives

RésuméDans cet article nous étudions la notion de partie essentielle d'une base additive, c'est-à-dire de parties finies minimales P d'une base A donnée telles que A−P ne soit plus une base. L'existence de parties essentielles pour une base équivaut à ce que cette base soit incluse, à partir d'un certain rang, dans une progression arithmétique non triviale. Nous montrons que pour toute base A il existe une progression arithmétique de plus grande raison qui contient, à partir d'un certain rang, la base A. Possédant cette plus grande raison a, on peut alors majorer le nombre de parties essentielles de A (qui est donc toujours fini) par la longueur du radical de a (i.e. le nombre de nombre premiers divisant a). Dans le cas des parties essentielles de cardinal 1 (éléments essentiels) nous introduisons une méthode pour « dessentialiser » une base. En application de ces considérations nous raffinons et complétons de manière définitive le résultat de Deschamps et Grekos sur la majoration du nombre d'éléments essentiels dans une base en fonction de l'ordre : nous montrons que pour toute base A d'ordre h, le nombre s d'éléments essentiels de A vérifie avec et que cette inégalité est optimale.

In this article we study the notion of essential subset of an additive basis, that is to say the minimal finite subsets P of a basis A such that A−P does not remains a basis. The existence of an essential subset for a basis is equivalent for this basis to be included, for almost all elements, in an arithmetic non-trivial progression. We show that for every basis A there exists an arithmetic progression with a biggest common difference containing A. Having this common difference a we are able to give an upper bound to the number of essential subsets of A: this is the radical's length of a (in particular there is always many finite essential subsets in a basis). In the case of essential subsets of cardinality 1 (essential elements) we introduce a way to “dessentialize” a basis. As an application, we definitively complete the result of Deschamps and Grekos about the majoration of essential elements of a basis by showing that for all basis A of order h, the number s of essential elements of A satisfy where , and we show that this inequality is best possible.