Valeurs d'une fonction de Picard en des points algébriques

RésuméEn utilisant les outils géométriques introduits par P. Cohen, H. Shiga, J. Wolfart et G. Wüstholz, on commence par montrer dans le théorème 1 de quelle façon, en des points algébriques, l'algébricité de certaines valeurs de la fonction hypergéométrique de Gauss conduit à la transcendance de la valeur d'une autre fonction de Gauss. Puis, on s'intéresse aux fonctions hypergéométriques d'Appell—qui généralisent en deux variables celles de Gauss—afin d'étudier les valeurs en des points algébriques d'une nouvelle fonction transcendante construite à partir des deux précédentes. Ces valeurs seront reliées, via le théorème 2, à des variétés abéliennes de la même classe d'isogénie. La distribution des modules de ces variétés abéliennes, grâce notamment à l'utilisation d'un résultat d'Edixhoven–Yafaev [B. Edixhoven, A. Yafaev, Subvarieties of Shimura varieties, Ann. of Math. 157 (2003) 621–645], sera l'objet du dernier résultat.

Using geometric tools introduced by P. Cohen, H. Shiga, J. Wolfart and G. Wüstholz, we show in Theorem 1 that when a certain Gauss hypergeometric function takes an algebraic value at an algebraic point, then another Gauss hypergeometric function takes a transcendental value at a related algebraic point. Using Appell hypergeometric functions, which generalize to two variables the Gauss functions, we study values at algebraic points of a new transcendental function defined in terms of these two functions. By Theorem 2, these values correspond to abelian varieties in the same isogeny class. Using a result of Edixhoven–Yafaev [B. Edixhoven, A. Yafaev, Subvarieties of Shimura varieties, Ann. of Math. 157 (2003) 621–645], this last result is in turn related to the distribution of the moduli of such abelian varieties in certain Shimura varieties.