On maximum increase and decrease of Brownian motion

The joint distribution of maximum increase and decrease for Brownian motion up to an independent exponential time is computed. This is achieved by decomposing the Brownian path at the hitting times of the infimum and the supremum before the exponential time. It is seen that an important element in our formula is the distribution of the maximum decrease for the three-dimensional Bessel process with drift started from 0 and stopped at the first hitting of a given level. From the joint distribution of the maximum increase and decrease it is possible to calculate the correlation coefficient between these at a fixed time and this is seen to be .

RésuméDans cet article nous déterminons la loi conjointe de la plus grande montée et de la plus grande descente d'un mouvement brownien arrêté en un temps exponentiel indépendant. La preuve repose sur la décomposition de la trajectoire brownienne aux instants où le processus atteint son maximum, resp. son minimum, avant le temps exponentiel. La loi de la plus grande descente d'un processus de Bessel, de dimension trois, issu de 0 et arrêté lorsqu'il atteint un niveau fixé, joue également un rôle important. Le coefficient de corrélation linéaire de la grande montée et de la plus grande descente d'un mouvement brownien arrêté en temps fixe est déterminé : .