Asymptotic direction for random walks in random environments

In this paper we study the existence of an asymptotic direction for random walks in random i.i.d. environments (RWRE). We prove that if the set of directions where the walk is transient contains a non-empty open set, the walk admits an asymptotic direction. The main tool to obtain this result is the construction of a renewal structure with cones. We also prove that RWRE admits at most two opposite asymptotic directions.

RésuméDans cet article, nous étudions l'existence d'une direction asymptotique pour les marches aléatoires en milieu aléatoire i.i.d. (RWRE). Nous prouvons que si l'ensemble des directions dans lesquelles la marche est transiente contient un ouvert non vide, la marche admet une direction asymptotique. La construction d'une structure de renouvellement avec cônes est le principal outil pour la preuve de ce résultat. Nous montrons aussi qu'une RWRE admet au plus 2 directions asymptotiques opposées.