Set estimation under convexity type assumptions

The problem of estimating a set S from a random sample of points taken within S is considered. It is assumed that S is r-convex, which means that a ball of radius r can go around from outside the set boundary. Under this assumption, the r-convex hull of the sample is a natural estimator of S. We obtain convergence rates for this estimator under both the distance in measure and the Hausdorff metric between sets. It is also proved that the boundary of the estimator consistently estimates the boundary of S, in Hausdorff's sense.

RésuméDans cet article, nous considérons le problème d'estimer un ensemble S à partir d'un échantillon aléatoire de points de S. Nous supposons que S est r-convexe, c'est à dire, une boule de rayon r peut circuler à l'extérieur de la frontière de l'ensemble. Sous cette hypothèse, l'enveloppe r-convexe de l'échantillon est un estimateur naturel pour S. Nous obtenons des vitesses de convergence pour cet estimateur avec la distance en mesure et la métrique de Hausdorff entre des ensembles. Nous montrons également que la frontière de l'estimateur estime uniformément la frontière de S, dans le sens de Hausdorff.