Limiting behavior of a diffusion in an asymptotically stable environment

Let V be a two sided random walk and let X denote a real valued diffusion process with generator . This process is the continuous equivalent of the one-dimensional random walk in random environment with potential V. Hu and Shi (1997) described the Lévy classes of X in the case where V behaves approximately like a Brownian motion. In this paper, based on some fine results on the fluctuations of random walks and stable processes, we obtain an accurate image of the almost sure limiting behavior of X when V behaves asymptotically like a stable process. These results also apply for the corresponding random walk in random environment.

RésuméÉtant donnée une marche aléatoire V, on considère une diffusion aléatoire réelle X de générateur . Ce processus est l'équivalent continu de la marche aléatoire en milieu aléatoire au plus proche voisin en dimension 1. Hu et Shi (1997) ont déterminé les classes de Lévy de X lorsque V se comporte approximativement comme un mouvement Brownien. Dans cet article, une étude fine des fluctuations du potentiel V nous permet d'obtenir des résultats précis sur le comportement limite presque-sûre de la diffusion lorsque V est dans le domaine d'attraction d'une loi stable. Ces résultats se transposent également au cas discret de la marche aléatoire en milieu aléatoire.